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Resolución de Sistemas de Ecuaciones por La Inversa | Grupo 3 | APLICACIONES | .
 
Resolución de Sistemas de Ecuaciones por La Inversa

   
 
Matriz Inversa
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Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A-1 , a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A-1·A = A·A-1 = I

Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante es distinto de cero, y es "singular" si su determinante es igual a cero.

PROPIEDADES :
1. La matriz inversa,si existe,es única
2. A-1A=A·A-1=I
3. (A·B) -1=B-1A-1
4. (A-1) -1=A
5. (kA) -1=(1/k·A-1
6. (At) –1=(A-1) t

Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.
Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.

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EJEMPLO
Invertir la matriz

A=
1 -6 2
2 -2 -1
1 -3 -1

Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

(A,I)=
1 -6 2 : 1 0 0
2 -2 -1 : 0 1 0
1 -3 -5 : 0 0 1

Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones.

1 -6 2
0 10 -5
0 3 -7

En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de los otros renglones.

1 0 -1 : -1/5 3/5 0
0 1 1/2 : -1/5 1/10 0
0 0 -11/2 : -2/5 -3/10 1

Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes:

1 0 0 : -7/55 36/55 -2/11
0 1 0 : -9/55 7/55 -1/11
0 0 1 : 4/55 3/55 -2/11

Por lo tanto, la inversa es:

-7/55 36/55 -2/11
-9/55 7/55 -1/11
4/55 3/55 -2/11

Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera:

donde C es el vector de términos independientes.
Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión de matrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que intervienen para determinar la matriz inversa es muy grande. Sin embargo, si se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que contiene 20 columnas de constantes (que se utilizarían en el método de eliminación) sería difícil de reducir, y se podría usar con ventaja el método de inversión de matrices.


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Uso de el paquete Scientific Workplace 4.1 para resolver un sistema de ecuaciones por el Método de la Inversa.
PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ:

1) Introduzca la matriz de coeficientes del sistema
2) Seleccione COMPUTE
3) Seleccione MATRICES
4) Seleccione INVERSE

A Continuación se multiplica ésta por el vector de términos independientes, el resultado es el vector de la solución.